Основываясь на придуманной им математической игре, америкосский спец обнаружил новое свидетельство теоремы Георга Кантора о несчётности множества всех действительных чисел.

Страницы: 1 2 следующая

Важнейшим открытием немецкого математика Георга Кантора было то, что бесконечные множества различаются в количественном отношении. Это различие он показал в том числе для множеств действительных и натуральных чисел.

Соответственно предложенной им в 1874 г. теореме, море всех действительных чисел является несчётным, то есть оно не эквивалентно бесконечному ряду натуральных чисел (его элементы запрещено последовательно и однозначно пронумеровать натуральными числами 1, 2, 3 и т.д.).

Свое подтверждение Кантор построил от противного, предположив существование счётности пронумерованного списка всех действительных чисел a₁, a₂, a₃ и т.д., находящихся в интервале от 0 до 1. Эти числа он представил в виде бесконечных десятичных дробей (рациональным числам для этого пришлось привосокупить бесконечное цифра нулей начиная с определенного знака вслед за тем запятой).

Затем Кантор предложил собрать ещё одну бесконечную десятичную дробь, у которой начальный знак следом запятой отличается от первого знака после этого запятой a₁, второй знак отличается от второго знака a₂ и так дальше до бесконечности.

Полученная дробь не совпадает ни с одной десятичной дробью a_n, потому что на n-й позиции у нее и a_n стоят разные цифры. Из этого следует, что полученная дробь не входит в нумерованный список чисел, а значит тот самый список не является счётным.

Недавно свойский современник Мэтью Бейкер (Matthew Baker) из Технологического института Джорджии в Атланте предложил новое доказательство того, что уймище действительных чисел несчётно. Его статья с решением опубликована в издании Mathematics Magazine.

Бейкер придумал математическую игру, заключающуюся в том, что вымышленные персонажи Алиса и Боб поочередно выбирают действительные числа из интервала от 0 до 1. Числа Боба обозначаются В, Алисы - А.

Боб выбирает любое число больше последнего А и меньше 1, а Алиса - меньше последнего В и больше 0. Таким образом, новые выбранные числа всю дорогу находятся в интервале между двумя последними числами, выбранными игроками.

По ходу игры числа Алисы и числа Боба становятся все больше близки по значению. Числа Алисы безмерно приближаются к определенному числу α, которое больше, чем все А и меньше, чем все В. Если это число лежит в указанном промежутке (0-1), выигрывает Алиса, если нет - то Боб. Интуитивно понятно, что в этой игре неизменно выигрывает Алиса.

Страницы: 1 2 следующая

Добавлено: 31 января 2008
По материалам: http://pda.cnews.ru/news/index.shtml